bonjour petit problême : quelles sont les dimension d'un rectangle dont l'aire mesure 10125 cm² et le périmètre 804cm ? et après: on considère la parabole d'équation: y = 3x²+ bx +c Détermine la valeur de b et c pour chacun des cas suivants : a) (1,3) et (-3,4) appartienne au graphique b) (-2,5) est le sommet de la parabole

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Réponses

2013-08-20T18:59:04+02:00

1.   Soit x et y les longueurs des côtés du rectangle.

      On a :

      — l'aire du rectangle est de 10125 cm², donc :                 xy  =  10125

      — le périmètre du rectangle est de 804 cm, donc :    2x + 2y  =  804

 

     Soit le système :

 

          {  x + y  =  402

          {  xy  =  10125

 

          {  y  =  402 − x

          {  x(402 − x)  =  10125

 

     ou {  x  =  402 − y
          {  (402 − y)y  =  10125

 

     x et y sont donc solutions du système :     −x² + 402x − 10125  =  0

                                                      soit :        x² − 402x + 10125  =  0

     [ce qui est normal, puisque lorqu'on connaît :

     — la somme S

     — et le produit P

     de deux nombres,

     ces nombres sont solutions de l'équation :    x² − Sx + P  =  0]

 

     Comme le discriminant de l'équation   x² − 402x + 10125

     est b² − 4ac  =  402² − 4(1)(10125)  =  121104  =  348² qui est un nombre positif

     les racines de l'équation et donc les nombres recherchés sont :

     — d'une part :    (−b + √Δ)/2a  =  (402 + 348)/2  =  375

     — d'autre part :  (−b − √Δ)/2a  =  (402 − 348)/2  =  27

 

    Le rectangle a donc une longueur de 375 cm

                          pour une largeur de 27 cm.

 

 

 

2.   y = 3x² + bx + c

 

a.   Si la parabole passe par les points (1 ; 3) et (−3 ; 4), elle a en ces points pour équation :

      — au premier :          3  =  3(1)² + b(1) + c        soit    b + c  =  0

      — au second :          4  =  3(−3)² + b(−3) + c    soit    4  =  3 × 9 −3b + c

                                                                           d'où   −3b + c  = −23

 

      soit le système :

 

         {  b + c  =  0

         {  −3b + c  =  −23

 

      ce qui donne par soustraction par parties :    4b  =  23

                                                                         b  =  23/4

                                                                             =  5,75

 

      d'où    c  =  −b

                    =  −5,75

 

      ce qui donne l'équation   y  =  3x² + 5,75x − 5,75

 

 

b.   Si le point (−2 ; 5) est le sommet de la parabole,

      comme ce point a pour abscisse : −b/2a

       on a donc    −b/2(3)  =  −2

                           b  =  2 × 6

                               =  12

 

      On a donc, au point (−2 ; 5) l'équation :        5  =  3(−2)² + 12(−2) + c

                                                                       c  =  5 − 12 + 24

                                                                           =  17

 

      Ce qui donne l'équation   y  =  3x² + 12x + 17