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On considère un rectangle ABCD tel que AB=1 et BC= racine de 2.On appelle E le milieu de [BC] et K le point d’intersection de (AE) et (BD). 1) Calculer AE et BD. On veut démontrer de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires. 2) 1 ère méthode : a) en utilisant le théorème de Thalès, calculer AK et BK. b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure. 3) 2e méthode : a) Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC. b) En déduire les valeurs de AK et BK ; Conclure. 4) 3e méthode : a) On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM. b) En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure. 5) 4e méthode : a) Montrer que les angles BAE et DBC ont le même sinus. b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

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2013-08-20T08:06:36+02:00

   On considère un rectangle ABCD tel et que AB=1 et BC=√2.
   On appelle E le milieu de [BC] et K le point d'intersection de (AE) et (BD).

1)   a.   Faire une figure.

 

           Cf. fichier joint.

 


      b.   Calculer AE et BD.

 

            Selon le théorème de Pythagore, on a :   AE²  =  AB² + BE²
                                                                               =  AB² + (BC/2)²

     

                                                               et :   BD²  =  AB² + AD²
                                                                              =  AB² + BC²

 

           D'où :   AE  =  √[1² + (√2/2)²]
                             =  √(1 + 2/4)
                             =  √(3/2)

 

               et :  BD  =  √(1² + √2²)
                            =  √(1 + 2)
                            =  √3

 

 

 

  On veut démontrer, de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.

 

 

2)    1ère méthode

 

   a)    En utilisant le théorème de Thalés, calculer AK et BK.

 

         Selon le théorème de Thalès, puisque :
         —   (AD) // (BE) par construction
         —   D, K et B ainsi que A, K et E sont alignés dans le même ordre
         on a : AD/EB = DK/KB = EK/KA = 2/1

         autrement dit :   AK  =  2/3 AE

                                       =  2/3 × √(3/2)

                                       =  2√(3/2)/3


                         et :   BK  =  1/3 BD

                                       =  1/3 × √3

                                       =  √3/3

 


   b)    En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

 

         or :   AK² + KB²  =  [2√(3/2)/3]² + [√3/3]²
                                  =  [(4 × 3/(2 × 9)] + [3/9]
                                  =  (2/3) + (1/3)
                                  =  1
                                  = 1²
                                  = AB²

         d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K

 

         On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)

 

 

 


3)   2ème méthode

 

   a)   Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.

 

        Comme (BD) est une diagonale de ABCD,
         elle croise l'autre diagonale [AC] en son milieu
        d'où (BD) partant du sommet B pour couper [AC] en son milieu
         est donc une médiatrice de ABC.

 

        Comme E est le milieu de [BC]
         (AE) partant du sommet A pour couper [BC] en son milieu
        est donc une médiatrice de ABC.

 


   b)   En déduire les valeurs de AK et BK. Conclure.

 

        (AK) et (BK) étant toutes deux médiatrices de ABC,

 

        on a :   AK  =  2/3 × AE

           et     BK  =  2/3 × 1/2 BD
                         =  1/3 × BD

 

        En reprenant le calcul précédemment mis, on trouve que :

 

                 AK² + KB²  =  AB²

         d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K

 

         On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)

 

 


4.   3ème méthode

 

   a)   On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM.

 

         Selon le théorème de Pythagore, on a :   EM²  =  MC² + CE²
                                                                            =  (AB/2)² + (BC/2)²

 

                                                             et :   AM²  =  DM² + AD²
                                                                             =  (AB/2)² + BC²

 

         D'où :   EM  =  √[(1/2)² + (√2/2)²]
                            =  √(1/4 + 2/4)
                            =  √(3/4)

 

             et :   AM  =  √[(1/2)² + (√2)²]
                            =  √(1/4 + 2)
                            =  √(9/4)
                            =  3/2

 


   b)   En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.

 

         On a ainsi :    AE² + EM²  =  (√3/2)² + √(3/4)²
                                               =  3/2 + 3/4
                                               =  9/4

                                               =  (3/2)²
                                               =  AM²

 

         Donc, selon le théorème de Pythagore, AEM est rectangle en E

 

         D'où   (EM) ⊥ (AE)

 

         Or, selon le théorème de Thalès, puisque :
         — D, M et C ainsi que B, E et C sont alignés dans le même ordre, 
         — E et M étant les milieux respectifs de [BC] et [DC]
             ce qui fait que DM/DC = BE/BC
         on a (DB) // (EM)

 

         Donc, puisque (DB) // (EM)

                        et    (EM) ⊥ (AE),

                      alors  (DB) ⊥ (AE)

 

 


5.   4ème méthode.

 

   a)   Montrer que les angles BÂE et DBC ont le même sinus.

 

         sin BAE  =  BE/AE
                       =  (√2/2)/√(3/2)
                       =  √(2/4) × √(2/3)
                       =  √(4/12)
                       =  √(1/3)

 

        sin DBC  =  DC/BD
                       =  AB/BD
                       =  1/√3
                       =  √1/√3
                       =  √(1/3)

 

        d'où   sin BAE  =  sin DBC  =  √(1/3)

 


b)   En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

 

     Or   ABK  =  ABE − KBE
                    =  ABE − DBC
                    =    90° − BAE

 

     D'où   ABK + BAE  =  90°

 

     Donc   AKB  =  180° − (ABK + BAE)
                        =  180° − 90°
                        =  90°

 

     Aussi AKB est-il rectangle en K.

 

    On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)