Bonjour;

voici un exercice qui me donne du fil à retordre :

On considère un rectangle ABCD tel et que AB=1 et BC=(racinde de) 2. On appelle E le milieu de [BC] et K le point d'intersection de (AE) et (BD).

1)a. Faire une figure
b. Calculer AE et BD.

On veut démontrer, de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.

2.1ère méthode

a) en utilisant le théroème de Thalés, calculer AK et BK.
b) en déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure

3.2ème méthode

a)Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.
b) En déduire les valeurs de AK et BK. Conclure.

4.3ème méthode

a)On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM.
b)En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.

5.4ème méthode.

a)Montrer que les aangles BÂE et DBC ont le même sinus.
b) En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.


Où j'en suis :


J'ai fait la question 1 et 2 mais je n'arrive pas à faire le reste.


Merci de bien vouloir m'aider.

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Réponses

2013-08-09T14:24:00+02:00

   On considère un rectangle ABCD tel et que AB=1 et BC=√2.
   On appelle E le milieu de [BC] et K le point d'intersection de (AE) et (BD).

1)   a.   Faire une figure.

 

           Cf. fichier joint.

 


      b.   Calculer AE et BD.

 

            Selon le théorème de Pythagore, on a :   AE²  =  AB² + BE²
                                                                               =  AB² + (BC/2)²

     

                                                               et :   BD²  =  AB² + AD²
                                                                              =  AB² + BC²

 

           D'où :   AE  =  √[1² + (√2/2)²]
                             =  √(1 + 2/4)
                             =  √(3/2)

 

               et :  BD  =  √(1² + √2²)
                            =  √(1 + 2)
                            =  √3

 

 

 

  On veut démontrer, de 4 façons différentes, que les droites (AE) et (BD) sont perpendiculaires.

 

 

2)    1ère méthode

 

   a)    En utilisant le théorème de Thalés, calculer AK et BK.

 

         Selon le théorème de Thalès, puisque :
         —   (AD) // (BE) par construction
         —   D, K et B ainsi que A, K et E sont alignés dans le même ordre
         on a : AD/EB = DK/KB = EK/KA = 2/1

         autrement dit :   AK  =  2/3 AE

                                       =  2/3 × √(3/2)

                                       =  2√(3/2)/3


                         et :   BK  =  1/3 BD

                                       =  1/3 × √3

                                       =  √3/3

 


   b)    En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

 

         or :   AK² + KB²  =  [2√(3/2)/3]² + [√3/3]²
                                  =  [(4 × 3/(2 × 9)] + [3/9]
                                  =  (2/3) + (1/3)
                                  =  1
                                  = 1²
                                  = AB²

         d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K

 

         On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)

 

 

 


3)   2ème méthode

 

   a)   Démontrer que le point K est le centre de gravité du triangle ABC.

 

        Comme (BD) est une diagonale de ABCD,
         elle croise l'autre diagonale [AC] en son milieu
        d'où (BD) partant du sommet B pour couper [AC] en son milieu
         est donc une médiatrice de ABC.

 

        Comme E est le milieu de [BC]
         (AE) partant du sommet A pour couper [BC] en son milieu
        est donc une médiatrice de ABC.

 


   b)   En déduire les valeurs de AK et BK. Conclure.

 

        (AK) et (BK) étant toutes deux médiatrices de ABC,

 

        on a :   AK  =  2/3 × AE

           et     BK  =  2/3 × 1/2 BD
                         =  1/3 × BD

 

        En reprenant le calcul précédemment mis, on trouve que :

 

                 AK² + KB²  =  AB²

         d'où, selon le théorème de Pythagore, le triangle AKB est rectangle en K

 

         On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)

 

 


4.   3ème méthode

 

   a)   On appelle M le milieu de [DC]. Calculer EM et AM.

 

         Selon le théorème de Pythagore, on a :   EM²  =  MC² + CE²
                                                                            =  (AB/2)² + (BC/2)²

 

                                                             et :   AM²  =  DM² + AD²
                                                                             =  (AB/2)² + BC²

 

         D'où :   EM  =  √[(1/2)² + (√2/2)²]
                            =  √(1/4 + 2/4)
                            =  √(3/4)

 

             et :   AM  =  √[(1/2)² + (√2)²]
                            =  √(1/4 + 2)
                            =  √(9/4)
                            =  3/2

 


   b)   En déduire que le triangle AEM est rectangle en E. Conclure.

 

         On a ainsi :    AE² + EM²  =  (√3/2)² + √(3/4)²
                                               =  3/2 + 3/4
                                               =  9/4

                                               =  (3/2)²
                                               =  AM²

 

         Donc, selon le théorème de Pythagore, AEM est rectangle en E

 

         D'où   (EM) ⊥ (AE)

 

         Or, selon le théorème de Thalès, puisque :
         — D, M et C ainsi que B, E et C sont alignés dans le même ordre,
         — E et M étant les milieux respectifs de [BC] et [DC]
             ce qui fait que DM/DC = BE/BC
         on a (DB) // (EM)

 

         Donc, puisque (DB) // (EM)

                        et    (EM) ⊥ (AE),

                      alors  (DB) ⊥ (AE)

 

 


5.   4ème méthode.

 

   a)   Montrer que les angles BÂE et DBC ont le même sinus.

 

         sin BAE  =  BE/AE
                       =  (√2/2)/√(3/2)
                       =  √(2/4) × √(2/3)
                       =  √(4/12)
                       =  √(1/3)

 

        sin DBC  =  DC/BD
                       =  AB/BD
                       =  1/√3
                       =  √1/√3
                       =  √(1/3)

 

        d'où   sin BAE  =  sin DBC  =  √(1/3)

 


b)   En déduire que le triangle AKB est rectangle en K. Conclure.

 

     Or   ABK  =  ABE − KBE
                    =  ABE − DBC
                    =    90° − BAE

 

     D'où   ABK + BAE  =  90°

 

     Donc   AKB  =  180° − (ABK + BAE)
                        =  180° − 90°
                        =  90°

 

     Aussi AKB est-il rectangle en K.

 

    On a donc (AK) ⊥ (BK) soit (AE) ⊥ (BD)