Réponses

Meilleure réponse !
2013-07-19T16:07:45+02:00

Exercice 1 :

---------------

 

1)                                2 / (3x - 1) - 3x / (3x + 1)   =   4 / (9x² - 1) - 1  

                                                                                                                   pour tout     x  ≠  {-1/3 ; 1/3}

 

     [2(3x + 1) - 3x(3x - 1)]  /  [(3x - 1) (3x + 1)]   =   [(4 - (9x² - 1)]  /  [(3x)² - 1²)]

                                                 6x + 2 - 9x² + 3x   =   -9x² + 5

                                        -9x² + 9x + 2 + 9x² - 5   =   0

                                                                    9x - 3   =   0

                                                                            x   =   1/3

 

      Qui est hors de l'ensemble de définition initial, donc pas de solution.

 

 

 

2)       4 / (2x - 3)  ≥  2x - 3          pour tout        x  ≠  3/2


       a.   Si    2x - 3  >  0    on a :

 

                                        4  ≥  (2x - 3)²                     pour         x > 3/2

                                        0  ≥  4x² - 12x + 9 - 4

                                        0  ≥  4x² - 12x + 5

 

             Comme 4x² - 12x + 5 a pour discriminant :   (-12)² - 4(4)(5)  =  144 - 80  =  64  =  8²
             Qui est un nombre positif, ses racines sont :
             —   (12 - 8) / 2(4)  =  4/8  =  1/2
             —   (12 + 8) / 2(4)  =  20/8  =  5/2

            Comme 4  >  0, l'équation   4x² - 12x + 5   est négative entre ses racines,

              soit pour x  ∈  [1/2 ; 5/2]

 

            Pour   x  >  3/2,    l'ensemble solution est donc :    x  ∈  ]-∞ ; 1/2]

 


       b.   Si    2x - 3  <  0    on a :

                                        4  ≤  (2x - 3)²                     pour         x < 3/2

                                        0  ≤  4x² - 12x + 5

 

             Or l'équation   4x² - 12x + 5   est négative entre ses racines,

               soit pour   x  ∈  [1/2 ; 5/2]

 

             Pour    x  >  3/2,    l'ensemble solution est donc :    x  ∈  ]3/2 ; 5/2]

 

 

       c.   En conclusion, on a :

 

                                                            4 / (2x - 3)  ≥  2x - 3             avec x ≠ 3/2

 

                         pour            x  ∈  ]-∞ ; 1/2] U ]3/2 ; 5/2]