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2013-07-18T12:51:07+02:00

Exercice 10
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   On a :      mx² + 5x + m  =  0

 

   Pour que cette équation admette des racines, il faut que son discriminant soit supérieur ou égal à 0, soit que :

 

                  5² - 4m²  ≥  0

 

   Or :

 

                  5² - 4m²  =  (5 - 2m)(5 + 2m)

 

   D'où :

 

                  |  x           |  -∞      -5/2      +5/2      +∞  |
                  |  5 - 2x    |      +      |     +    0      -       |
                  |  5 + 2x   |      -      0     +     |      -       | 
                  |  5² - 4x²  |      -      0     +     0     -       |

 

   Donc     5² - 4m² ≥ 0     pour      m  ∈  [-5/2 ; 5/2]


   mx² + 5x + m  =  0     admet donc des racines pour     m  ∈  [-5/2 ; 5/2]

 

 

 

Exercice 11
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   1. Comme le sommet d'une parabole    f(x)  =  ax² + bx + c   a pour abscisse   x  =  -b/2a,

 

       et que l'abscisse du sommet S de la courbe est     -5/4

 

       l'équation recherchée a donc pour équation :    f(x)  =  2x² + 5x + c

                                             ou pour équation :    f(x)  =  -2x² - 5x + c.

 

       Puisque la courbe passe par le point A(2 ; 17), on a, à ce point :

 

             f(2)  =  -2(2)² - 5(2) + c  =  17      soit      c  =  17 + 8 + 10  =  35

 

      ou

   

             f(2)  =  2(2)² + 5(2) + c  =  17      soit      c  = 17 - 8 - 10  =  -1

 

      Or :

 

       —   si    f(x) = -2x² - 5x + 35,    on a pour ordonnée au sommet :

 

                        f(-5/4)  =  -2(-5/4)² - 5(-5/4) + 35
                                  =  -50/16 + 25/4 + 35
                                  =  -50/16 + 100/16 + 560/16

                                  =  610/16

                                  =  305/8

 

             qui est donc différente de celle de S.

 

      —   si   f(x) = 2x² + 5x - 1,    on a pour ordonnée au sommet :

                 

                       f(-5/4)  =  2(-5/4)² + 5(-5/4) - 1

                                 =  50/16 - 100/16 - 16/16
                                 =  -66/16
                                 =  -33/8

 

       qui est bien celle de S, le sommet de cette courbe.

 

      L'équation recherchée est donc : f(x) = 2x² + 5x - 1.

 


2.   Comme la dérivée de f(x)  =  2x² + 5x + 1 est :

 

                           f'(x)  =  2 × 2x + 5

                                   =  4x + 5

 

      Qui est négative pour tout x ≤ -5/4 et strictement positive pour tout x ≥ -5/4 :

      f sera     décroissante pour x ∈ ]-∞ ; -5/4]

           et     croissante pour x ∈ [-5/4 ; +∞[

 

     Ce qui est normal puisque S(-5/4 ; -33/8) est son sommet.

 

     Cf. le fichier joint pour la courbe.

 

 

3.  L'équation   2x² + 5x - 1 - m = 0   admet des racines si :

 

                             5² - 4(2)(-1 - m)  ≥  0

 

      soit si :              25 + 8(1 + m)  ≥  0

 

          si                                  8m  ≥  -25 -8

 

         si                                    m  ≥  -33/8

 

     Elle admet donc des racines pour  m  ∈  [-33/8 ; +∞[