Réponses

2013-07-16T14:22:34+02:00

Exercice 5 :

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1.   Par définition, pour tout   {A ; B} ≥ 0   on a :

 

                   A = √B     ⇔     A² = √B²     ⇔     A² = B

 

 

 


2.   a)   x - √(4x - 19)  =  4                           pour (4x - 19) ≥ 0, soit      pour tout x ≥ 19/4
                            x - 4  =  √(4x - 19)
                        (x - 4)²  =  4x - 19
                x² - 8x + 16  =  4x - 19
              x² - 12x + 35  =  0

 

            Or le discriminant de x² - 12x + 35 est    (-12)² - 4(1)(35)  =  144 - 140  =  4  =  2²

            qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
            —   (12 - 2)/2(1) = 10/2 = 5
            —   (12 + 2)/2(1) = 14/2 = 7

 

          Comme l'égalité initiale est possible pour tout x ≥ 19/4 = 4,75

           on a bien deux solutions :        x ∈ {5 ; 7}

 

 

 

       b)                                     √(2x + 3)  -  √(x + 2)   =   2                   pour  {(2x + 3) ; (x + 2) ≥ 0

                                              (√(2x + 3) - √(x + 2))²   =   4                       soit pour tout x ≥ -3/2
              (2x + 3)  -  2√(2x + 3)√(x + 2)  +  (x + 2)   =   4
                          3x + 5 - 2√(2x² + 4x + 3x + 6) - 4   =   0
                                                                        3x + 1   =  2√(2x² + 7x + 6)
                                                              9x² + 6x + 1   =   4(2x² + 7x + 6)
                                                              x² - 22x - 23   =   0

 

           Or le discriminant de x² - 22x - 23 est     (-22)² - 4(1)(-23)  =  484 + 92  =  576  =  24²

           qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
           — (22 - 24)/2(1)  =  -2/2  =  -1
          — (22 + 24)/2(1)  =  46/2  =  23

 

          Comme l'égalité iniale est possible x ≥ -3/2,

           on a une solution : x = 23.

 

 


        c)   x² - 6x + 9  =  4√(x² - 6x + 6)                               valable pour (x² - 6x + 6) ≥ 0

              Prenons :    X  =  x² - 6x + 6                                 valable pour tout X ≥ 0

         

              alors           X + 3  =  4√X

                              (X + 3)²  =  16X

                       X² + 6X + 9  =  16X

                      X² - 10X + 9  =  0

             Or le discriminant de X² - 10X + 9 est         (-10)² - 4(1)(9)  =  100 - 36  =  64  =  8²
             qui est un nombre positif, on a donc deux racines :
             — (10 - 8)/2(1) = 2/2 = 1
             — (10 + 8)2(1) = 18/2 = 9

 

             Comme l'égalité initiale était valable pour tout X ≥ 0

              on a deux solutions                   X  ∈  {1 ; 9}

                                      soit         x² - 6x + 6  ∈  {1 ; 9} 

 

             Or      x² - 6x + 6  =  1
              si       x² - 6x + 5  =  0

             Dont les racines sont  1  et  5

 

             Et x² - 6x + 6 = 9

             si x² - 6x - 3 = 0

             Dont les racines sont  (3 - 2√3)  et  (3 + 2√3)

 

             Il y a donc 4 solutions à l'égalité initiale :     x  ∈  {3 - 2√3  ;  1  ;  5  ;  3 + 2√3}