Réponses

2013-06-28T16:22:59+02:00

1)  a.   Comme f est une fonction affine de coefficient directeur négatif, c'est une droite descendante.

 

 

     b.   Cf. pièce jointe

 

 

 

 

2)  a.   Puisque (AB) est une droite, c'est une fonction affine d'équation : h(x) = ax + b          

           

           Or, comme elle passe par les points A(-4 ; 2) et B(1 ; 7) son coefficient directeur est :                        

                     

                              a = (yA - yB) : (xA - xB) = (2 - 7) : (-4 - 1) = -5/-5 = 1

 

           Son équation est donc : h(x) = x + b

 

           Or en B, on a h(1) = 7  or   h(1) = 1 + b     ⇒    7 = 1 + b    ⇔   b = 6

 

          Ce qui fait que l'équation de la droite (AB) est :     h(x) = x + 6

 

 

       b.   -2x + 1 = x + 6       ⇔       -2x - x = 6 - 1       ⇔       x = -5/3

 

           Ce qui donne en  f(-5/3) = 10/3 + 1 = 13/3      et       h(-5/3) = -5/3 + 6 = 13/3

 

           Sur le graphique, on a bien C(-5/3 ; 13/3)

 

 

       c.   -2x + 1 < 0       ⇔       -2x < -1       ⇔       x >  1/2

 

 

          Sur le graphique, on constate bien que f(x) < 0 à partir du point D(1/2 ; 0)

 

 

 

 

3)    a.   La dérivée de g(x) = -2x² - 11x + 6   est   g'(x) = 2 × -2x - 11 = -4x - 11                        

 

             Or  -4x - 11 < 0       ⇔       -4x < 11       ⇔       x > -11/4

 

             Or si g'(x) ≥ 0, g est croissante      ⇒   g est croissante jusqu'à      x = -11/4                  

                 si g'(x) ≤ 0, g est décroissante   ⇒   g est croissante à partir de  x = -11/4              

 

             Et pour x = -11/4,   g(x) = -2(-11/4)² - 11(-11)4 + 6) = -121/8 + 242/8 + 48/8 = 169/8          

 

             ⇒  g est croissante jusqu'à point E(-11/4 ; 169/8)

 

 

       b.  Ce qui donne le tableau de variations suivant :

          

                   |   x    | -inf               -11/4              +inf |

                   | g'(x) |        +              0              -        |

                   | g(x)  |     Croît        169/8     Décroît    |

 

 

        c.   Cf. le graphique en pièce jointe.

 

 

        d.   (-2x + 1) (x + 6)   =   -2x² - 12x + x + 6   =   -2x² - 11x + 6   =   g(x)

 

 

        e.   Comme un produit de deux facteurs est négatif si les deux facteurs sont de signe contraire, et qu'il est positif s'ils sont tous deux de même signe et comme x + 6 < 0 ⇔ x < -6, la fonction sera :

               - négative jusqu'à de x = -6  puisque f(x) > 0 et g(x) < 0 ;

               - positive de x = -6 jusqu'à x = 1/2 puisque f(x) > 0 et g(x) > 0 ;

               - à nouveau négative à partir de x = 1/2 puisque f(x) < 0 et g(x) > 0.

 

              On a donc le tableau de signes :

 

                   |   x   | -inf          -6          1/2         +inf |

                   | g(x) |        -       0      +    0       -         |