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  • Utilisateur Brainly
2013-06-18T20:53:03+02:00

Ex 1

Système à 3 inconnues (x;y;z) à résoudre selon la méthode de Gauss

{-2x-4y+6z=-2

{10x-6y+2z=4

{9x-3y+3z=9

 

donc

{-x-2y+3z=-1  (L1)

{5x-3y+z=2     (L2)

{3x-y+z=3       (L3)

 

on applique L2->5L1+L2 et L3->3L1+L3

 

donc

{-x-2y+3z=-1          (L1)

{   -13y+16z=-3     (L2)

{     -7y+10z=0       (L3)

 

on applique L3->7L2-13L3

 

{-x-2y+3z=-1          (L1)

{   -13y+16z=-3     (L2)

{           -18z=-21    (L3)

 

donc

{-x-2y+3z=-1          (L1)

{   -13y+16z=-3     (L2)

{            z=7/6         (L3)

 

donc

 

{-x-2y+3z=-1   (L1)

{y=5/3              (L2)

{z=7/6              (L3)

 

donc

 

{x=7/6        (L1)

{y=5/3        (L2)

{z=7/6         (L3)

 

donc S={(7/6;5/3;7/6)}

 

Ex 2

 

soit A=√(23-8√7)

soit A=a-b√7

 

donc (a-b√7)²=23-8√7

donc a²+7b²-2ab√7=23-8√7

 

donc

{a²+7b²=23

{2ab=8

 

donc

{a²+7b²=23

{b=4/a

 

donc a²+7*16/a²=23

donc (a²)²-23a²+112=0

donc a²=7 ou a²=16

donc a=4 et b=1

 

ainsi A=4-√7

 

Ex 3

soit f(x)=1/((x²-1)(x²+1))

on applique la méthode de décomposition en éléments simples

f(x)=a/(x-1)+b/(x+1)+c/(x²+1)

 

(x-1)*f(x)=1/((x+1)(x²+1))

(x-1)*f(x)=a+b(x-1)/(x+1)+c(x-1)/(x²+1)

 

la limite de f en x=1 donne a=1/4

 

(x+1)*f(x)=1/((x-1)(x²+1))

(x+1)*f(x)=a(x+1)/(x-1)+b+c(x+1)/(x²+1)

 

la limite de f en x=-1 donne b=1/4

 

(x²+1)*f(x)=1/(x²-1)

(x²+1)*f(x)=a(x²+1)/(x-1)+b(x²+1)/(x+1)+c

 

la limite de f en x=0 donne -a+b+c=-1 donc c=-1

 

donc 1/((x²-1)(x²+1))=(1/4)/(x-1)+(1/4)/(x+1)-1/(x²+1)