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  • Utilisateur Brainly
2013-06-14T09:19:04+02:00

A)1) f(x)=(3x-1)/(x+1)

f'(x)=5/(x+1)² donc f est croissante sur IR+

donc (par récurrence) (u(n)) est croissante

 

2) conjecture : (u(n)) converge vers 3

 

3) a) u(n)=f(n)=(3n-1)/(n+1)

            =(3n+3-4)/(n+1)

            =(3n+3)/(n+1)-4/(n+1)

            =3-4/(n+1)

 

b) à partir de n=3999 : 2,999 < u(n) <3

 

B) 1) conjectures :

* (v(n)) est décroissante

* (v(n)) est minorée par 1 et majorée par 3

* (v(n)) est convergente vers 1

 

2) a) w(n+1)=(v(n+1)+1)/(v(n+1)-1)

                    =((3v(n)-1)/(v(n)+1)+1)/((3v(n)-1)/(v(n)+1)-1)

                    = (3v(n)-1+v(n)+1)/(3v(n)-1-v(n)-1)

                    =(4v(n))/(2v(n)-2)

                    =(2v(n))/(v(n)-1)

                    =(2v(n)-2+2)/(v(n)-1)

                    =2+2/(v(n)-1)

 

or w(n)=(v(n)+1)/(v(n)-1)

             =(v(n)-1+2)/(v(n)-1)

             =1+2/(v(n)-1)

 

donc w(n+1)=w(n)+1

donc (w(n)) est arithmétique de raison r=1

 

b) w(n)=w(0)+n=n+2

donc v(n)+1=(n+2)(v(n)-1)

donc v(n)+1=nv(n)+2v(n)-n-2

donc v(n)=(n+3)/(n+1)

 

c) v(n)=(n+1+2)/(n+1)

           =(n+1)/(n+1)+2/(n+1)

           =1+2/(n+1)

donc a=2

 

d) soit g(x)=1+1/(x+1)

g'(x)=-1/(x+1)²<0 donc g est décroissante

donc (par récurrence) (v(n)) est décroissante

 

e) 1/(n+1)>0 donc v(n)>1

et 1/(n+1)<2 donc v(n)<3

 

ainsi 1 < v(n) <3

 

de plus (v(n)) est décroissante et minorée par 1 donc (v(n)) est convergente

sa limite L vérifie lim(g(x))=L

or lim(g(x))=lim(1+2/(x+1))=1+0=1

donc L=1