Emilie et Pierre cherchent les solutions de cette équation : (x-1)^2-(2*+3)^2=0

-Emilie dit à Pierre que la solution est -4 car (-4-1)^2-(2*(-4)+3)^2=0

-Pierre répond à Emilie qu'elle ne peut pas être sûre de sa réponse, car il manque peut-être des solutions ...

1. Que pensez des réponses des ces deux élèves ?

2. Résoudre l'équation proposée. Quel élève a raison ?

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Réponses

2013-05-20T12:51:24+02:00

Bonjour,

 

1)Emilie a raison sur un point : (-4) est bien solution de l'équation (la justification qu'elle donne est correcte).

Cependant, rien ne permet d'affirmer qu'il n'y a pas d'autre solutions : Emilie n'a pas résolu l'équation, elle n'a fait que montrer que (-4) est solution. Donc Pierre a aussi raison.

 

2)On factorise en utilisant l'identité remarquable : a²-b² = (a+b)(a-b) :

\left(x-1\right)^2-\left(2x+3\right)^2 = 0\\ \left[\left(x-1\right)-\left(2x+3\right)\right]\left[\left(x-1\right)+\left(2x+3\right)\right] = 0\\ \left(x-1-2x-3\right)\left(x-1+2x+3\right) = 0\\ \left(-x-4\right)\left(3x+2\right) = 0\\ \left(x+4\right)\left(3x+2\right) = 0

A la dernière ligne, j'ai changé le signe de la première parenthèse, ce qui a pour effet de changer le signe de toute l'expression. Mais ça n'a aucun effet, puisque l'expression est égale à 0.

Si un produit est nul, alors l'un au moins de ses facteurs est nul.

x+4 = 0\\ x = -4

Ou :

3x+2= 0\\ 3x = -2\\ x = -\frac 23

 

On écrit :

 S= \left\{-\frac 23 ; -4\right\}